Baisiausias dalykas, krentant į bedugnę, yra tas, kad dugną ji visgi turi
~Liaudies išmintis
O kas būtų, jei bedugnė būtų tikrai be dugno? Tarkime, kiaurai žemę iškastas tunelis, pakankamo pločio, kad laisvai tilptų žmogus. Ir kas nors ten įkrenta (būdami labai jautrūs žmonių žudynėms tarkime, kad ten įkrenta ne žmogus, o abstraktus kūnas). Kaip jis judėtų?
Tokį klausimą vakar Magic the Gathering forume uždavė Robkė, o aš trumpai atsakiau. Paskui jis pasiūlė parašyti plačiau, taigi tą dabar ir padarysiu.
Sprendžiant tokį uždavinį, pirmiausia reikia kuo tiksliau apibrėžti modelį. Tarkime, jog tunelis iškastas nuo vieno Žemės ašigalio iki kito (tai gali būti tas pat tunelis, kurį Rokiškis įvardina kaip bebrų migracijos koridorių bei erdvėlaikio desinchronizacijų variklį; bet apie šiuos aspektus – kitą kartą, dabar laikykime, jog tunelyje jokie bebrai bei povandeniniai laivai negyvena), ir tas tunelis yra tuščias, t.y. jame yra tik oras, bet jokių kietų objektų ar skysčių. Šiame straipsnyje nebus nagrinėjama, kaip tą tunelį iškasti ir kaip izoliuoti nuo Žemės centre esančios magmos. Taip pat nebus atsižvelgiama į Žemės judėjimo pokyčius, kylančius dėl tokio tunelio atsiradimo. Eksperimentas būtų toks – nuo vieno ašigalio (nesvarbu, kurio) iš rimties pozicijos paleidžiamas kūnas. Natūralu, kad Žemė jį trauks link savęs, taigi kūnas įkris į tunelį. Klausimas – kas su kūnu vyks toliau? Kaip jis judės, kur sustos (ir ar iš viso sustos) ir kiek laiko truks jo kelionė?
Vienas galintis kilti atsakymo variantas – kūnas nukris iki Žemės centro ir ten sustos. Tai nėra tiesa, nes nukritęs iki Žemės centro kūnas turės gana didelį greitį, taigi judės toliau. Tuomet galima galvoti, kad jis tiesiog išnirs kitoje Žemės pusėje ir viskas vėl kartosis iš naujo. Tai irgi nėra tiesa, nes kūno judėjimas po truputį lėtės, kol galų gale jis visgi sustos. Dar galima galvoti, kad Žemės centre kūnas bus sudraskyta į visas puses veikiančios traukos jėgos, bet ir tai nėra tiesa, nes kiekvieną kūno tašką veikiančios jėgos veiks visomis kryptimis, taigi jų poveikis kompensuosis (susinaikins).
Kas visgi vyks iš tikrųjų? Tam, kad būtų galima aiškiai atsakyti į šį klausimą, reikia susidaryti kūno judėjimo lygtį. Ją galima sudaryti dviem būdais – remiantis Niutono arba Lagranžo-Hamiltono mechanika. Šie du būdai yra visiškai lygiaverčiai, taigi pasirinksiu lengviau suprantamą (nors nebūtinai paprastesnį) – Niutono. Atskaitos sistema pasirenkame Žemės ašį (x kryptį) ir jai statmenas dvi kryptis (y ir z, jos nėra labai svarbios šiuo atveju), koordinačių pradžia – Žemės centrą. Pradiniu momentu kūnas yra atstumu R nuo koordinačių pradžios x kryptimi, jo greitis lygus nuliui. Kūną veikia viena jėga – Žemės gravitacija, traukianti jį –x kryptimi (t.y. link Žemės centro). Tos jėgos stipris F = GM(R)m/R2. Šioje formulėje G yra gravitacijos konstanta (6,67×10-11 N*m2/kg2), m – nagrinėjamo kūno masė, M(R) – Žemės masė, traukianti kūną link centro (kuri, kaip vėliau pamatysime, priklauso nuo atstumo iki centro, todėl ir parašiau ją kaip masę būtent atstumu R). Kūno pagreitis, pagal antrąjį Niutono dėsnį, bus a = F/m = GM(R)/R2. Taigi kūnas, traukiamas žemyn, ims judėti pagreičiu a.
Štai dabar prasideda įdomūs dalykai. Kai kūnas atsiduria Žemės viduje (ne viduryje), dalis Žemės masės jį traukia link centro, o dalis – priešinga kryptimi. Rasti šių jėgų atstojamąją gali pasirodyti sudėtinga užduotis, bet taip nėra. Pagal Gauso dėsnį (kuris tinka ne tik elektromagnetinei, bet ir gravitacinei sąveikai, nes joms abiems galioja atvirkštinė kvadratinė priklausomybė nuo atstumo), į tą Žemės dalį, kuri yra toliau nuo Žemės centro nei krentantis kūnas, galima nekreipti dėmesio – jos poveikis visiškai kompensuosis. Taigi svarbi tik ta masės dalis, kuri yra arčiau Žemės centro – t.y. M(r) = 4πr3ρ/3. Čia r yra tas atstumas iki Žemės centro, o ρ – Žemės tankis (tarkime, jis yra visur vienodas – taip, tai netiesa, bet nukrypimai nuo vienodumo yra nedideli, be to, juos įskaičiuojant, problemos sprendimas pasidarytų LABAI sudėtingas). Įstatę šią masės išraišką į ankstesnę kūno pagreičio formulę, gauname a = 4πr3ρG/3r2 = 4πrρG/3 = kr. Čia k yra tiesiog kažkokia konstanta, vienintelis kintantis dydis toje lygtyje yra r. Kadangi pagreitis veikia Žemės centro link, t.y. –x kryptimi, o kūnas yra +x kryptimi nuo centro, vektoriškai gauname a = -kr. Jei kūnas būtų kitoje Žemės centro pusėje (-x kryptimi), jo pagreitis būtų nukreiptas +x kryptimi, taigi sąryšis a = -kr vis tiek galiotų.
Šitokia lygtis yra vadinama harmoninių svyravimų judėjimo lygtimi ir yra sutinkama tokiose situacijose, kaip nedidele amplitude svyruojantis ant siūlo pakabintas svarelis arba aplink pusiausvyros ašį svyruojantis prie spyruoklės prikabintas kūnas. Tokie kūnai svyruoja aplink pusiausvyros tašką, vis jį kirsdami ir sustodami ten ten tokiu atveju, jei yra kažkokia juos stabdanti jėga (pavyzdžiui, trintis). Mūsų nagrinėjamas kūnas tunelyje elgsis lygiai taip pat. Jei neatsižvelgiame į oro pasipriešinimą, kūnas judės nuo vieno ašigalio iki kito, greitėdamas tol, kol artėja prie Žemės centro, lėtėdamas, kai nuo jo tolsta, ir visiškai sustodamas labai mažam laiko tarpui ties kiekvienu ašigaliu. Kvadratinė šaknis, ištraukta iš k, yra kūno judėjimo „ciklinis greitis“, 2π kartų didesnis nei pilnų svyravimų (nuo šiaurės ašigalio iki pietų ir atgal) skaičius per sekundę. Taigi kūno svyravimų periodas T = 2πk-1/2 = 2π(3/4πρG)1/2 ≈ 5070s = 84,5min. Toks „pasivažinėjimas“ truktų beveik pusantros valandos, na o jei norima nukeliauti tik iš vieno ašigalio į kitą, kelionės truks maždaug 42 minutes. Štai jums ir dar vienas įrodymas, kad 42 yra atsakymas į visus gyvenimo klausimus. Beje, šis rezultatas nepriklauso nuo tunelio ilgio ir netgi nuo judėjimo krypties (keliaujant ne per centrą, atstumas sumažės tiek pat kartų, kiek ir traukos jėga) – taigi bet kokio dydžio daugmaž rutulio formos objekte, jei tik jo tankis yra toks, kaip Žemės, iškasus tiesų tunelį nebūtinai per centrą, gravitacijos varoma kelionė nuo vieno tunelio galo iki kito, jei įmanoma keliauti be trinties ir oro pasipriešinimo, truks tas pačias 42 minutes.
Tai va, pagrindinis uždavinys išspręstas. Dabar galima modelį padaryti šiek tiek realistiškesnį. Pirmas svarbus dalykas – oro pasipriešinimas. Tunelyje bus kažkiek oro, o oro pasipriešinimo jėga yra proporcinga kūno greičio kvadratui. Jei padarysime prielaidą, kad oro tankis visame tunelyje yra vienodas (ji turbūt neteisinga – giliau esantis oras bus labiau suspaustas, taigi bus tankesnis, bet galbūt nežymiai), pasipriešinimo jėga bus Fpasipr. = -ACρorov2/2. Čia A yra kūno skerspjūvio, statmeno judėjimo krypčiai, plotas, C – nuo kūno formos priklausantis koeficientas (kintantis nuo 0 iki 1), ρoro – oro tankis. Įrašius šią, stabdančią, jėgą į judėjimo lygtį, ji tampa gana sudėtinga. Tiksliai ją išspręsti – dar sudėtingiau. Jei pasipriešinimo jėga greičiui būtų proporcinga tiesiškai, sprendimas būtų gana nesudėtingas, bet dabar situaciją aprašyti galiu tik kokybiškai (t.y. be skaičių). Kūną veikianti oro pasipriešinimo jėga jį stabdys. To stabdymo metu išsiskirs kažkiek šilumos, bet galima teigti, kad jos bus nedaug, taigi aplinkos temperatūra smarkiai nesikeis, o kūnas neužsidegs. Praradęs kinetinę energiją, kūnas sulėtės ir, pralėkęs Žemės centrą, sustos jau nebe ties paviršiumi, o kažkiek giliau. Tada vėl ims lėkti atgal ir vėl sustos dar giliau. Po kažkiek tokių svyravimų galų gale kūnas sustos Žemės centre. Jo svyravimai atrodys daugmaž taip. Tikslus svyravimų skaičius priklausys nuo oro tankio ir kitų parametrų. Galima ir tokia situacija, kad kūnas sustos vos pasiekęs Žemės centrą (kritinis arba virškritinis stabdymas).
Yra ir daugiau variantų, kaip modelį padaryti įdomesnį. Pavyzdžiui, jei tunelis būtų iškastas ne tarp ašigalių, o kokia kita kryptimi, kristi pradedantis kūnas turėtų greitį ir y arba z kryptimis, atsirandantį dėl Žemės sukimosi apie savo ašį. Aišku, tunelis irgi sukasi, bet kuo arčiau centro, tuo sukimasis lėtesnis (pastovus yra kampinis, ne linijinis sukimosi greitis). Taigi nors tunelio sienelė ir „bėgs“ nuo kūno, kūnas ją vysis greičiau ir kažkada atsitrenks. Tada reikėtų atsižvelgti į tokius dalykus, kaip kūno sukimasis, smūgio trukmė bei jo tamprumas (visiškai tampraus smūgio metu mechaninė energija šilumine nevirsta, visiškai netampraus – abu susiduriantys kūnai lieka susiploję, mechaninės energijos nuostoliai išsiskiria kaip šiluma), galima įvesti pakeitimų į judesio lygtį. Idealiausiu atveju (kūnas nesisuka, smūgio trukmė nykstamai maža, smūgis visiškai tamprus) kelionės trukmė nepasikeičia, tik tenka keletą kartų atsitrenkti į tunelio kraštus. Kas lieka iš kūno – istorija nutyli.
Įdomybių prigalvoti galima ir daugiau, bet jau prirašiau daugiau nei du puslapius Word‘e, tad šis straipsnis yra turbūt ilgiausias bloge. Ta proga ir baigsiu šitą pasaką ir palinkėsiu ateityje sugalvoti daugiau panašių regis paprastų, bet iš tikro sudėtingų ar bent jau įvairiai panagrinėtinų klausimų. Kuriuos aš su mielu noru čia aprašysiu. Kai netingėsiu.
Laiqualasse