Trečioji, paskutinė, VU Matematikos ir informatikos instituto profesoriaus Leonido Sakalausko teksto apie Pjerą Ferma dalis. Kaip gi buvo išspręsta Paskutinioji Ferma teorema? Ar tai – jau istorijos pabaiga? Skaitykite žemiau.
Garsiausia matematikos problema išspręsta!
Leonidas Sakalauskas, VU MII
Didžioji Ferma teorema, neįrodyta daugiau negu trys su pusę šimto metų, ne be reikalo laikoma garsiausia matematine problema. Apie šios problemos atsiradimą rašėme čia, o nesėkmingus bandymus ją išspręsti – čia. Šiandien papasakosime, kaip pagaliau pavyko įrodyti Didžiąją Ferma teoremą.
Didžiosios teoremos iššūkis
Kembridžo Karališkojo koledžo mokyklos mokinys dešimtmetis Endriu Vailsas (Andrew Wiles) jau pradinėse klasėse buvo susižavėjęs matematika. Kartą grįždamas iš mokyklos, o tai atsitiko 1963 m., jis užsuko į miestelio biblioteką ir atsivertęs E.T.Belo galvosūkių knygą, kur su dideliu susidomėjimu perskaitė apie Ferma teoremą, staiga suvokė, jog atsirado uždavinys, kurio jis niekada negalės pamiršti. „Nuo to laiko, kai aš, būdamas berniuku, pirmą kartą susidūriau su Didžiąją Ferma teorema, ji tapo viso mano gyvenimo aistra”, – prisimena Endriu Vailsas. Tačiau nepaisant viso Endriu entuziazmo, jo pirmosios pastangos įrodyti Didžiąją Ferma teoremą baigėsi nesėkme. Besimokydamas mokykloje, universitete ir doktorantūroje, jis nepaliovė rengtis didžiajai savo gyvenimo užduočiai. 1975 metais Endriu Vailsas pradėjo savo mokslinę karjerą Kembridžo universiteto doktorantu, gilindamasis į eliptinių kreivių teoriją (tai kreivės, kurias plokštuomoje galima pavaizduoti lygtimis: $$y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c$$, čia a, b, c yra bet kurie sveikieji skaičiai; beje, pirmajame rašinėlyje paminėta skaičiaus 26 savybė, jog atėmus vienetą, gausime kvadratą, o pridėjus vienetą, gausime kubą, jau pastebėta Ferma, tereiškia, jog lygtis $$y^2 = x^3 – 2$$ teturi vieną sprendinį, t.y., $$5^2 = 3^3 – 2$$, arba $$25 = 27 – 2$$). Apgynęs disertaciją, jis persikėlė per Atlantą ir tęsė tyrimus Prinstono universitete pasirinktoje skaičių teorijos srityje, atidėjęs didžiosios problemos sprendimą neribotam laikui.
Kelias į Didžiosios teoremos įrodymą
Norint geriau suprasti kelią, kurį reikėjo įveikti, įrodant Didžiąją teoremą, reikės nusikelti į kitą pasaulio kraštą, į pokario Japoniją. Japonijos matematikai dėl jų šalies pokario izoliacijos dažnai nagrinėdavo klausimus, seniai išėjusius iš mados Europoje ir Amerikoje. Jutaka Tanijama ir Goro Šimura buvo matematikai, kurie susidomėjo moduliarinėmis formomis, vaizduojamomis kompleksinių skaičių erdvėje, ir pasižyminčiomis dideliu simetriškumu. Reikia pastebėti, jog Tanijama buvo bepročio genijaus įsikūnijimas, kuris nesugebėdavo surišti pakenčiamą mazgą, ir nuspręsdavo, kad verčiau batų raištelių neužsirišti išvis, užuot juos rišus daug kartų per dieną. Jis buvo apdovanotas ypatingu gebėjimu daryti daug klaidų, bet daugiausia reikiama kryptimi. Jo draugas Šimura pavydėdavo jam, nes matydavo, kad „daryti geras klaidas yra gana sunku“.
Tai štai, Tanijama ir Šimura pastebėjo, kad su kiekviena moduliarine forma galima susieti kokią-nors eliptinę kreivę, nors tai yra visiškai skirtingų matematikos sričių objektai. Jie abu ėmė teigti, jog eliptinės kreivės ir moduliarinės formos gali būti vienas ir tas pats daiktas. Pagal tuos du kitaminčius moduliarinį ir eliptinį pasaulius galima sutapatinti, t.y., kiekvieną moduliarinę formą atitinka kažkokia eliptinė kreivė, ir žinant viską apie tą kreivę, galima nustatyti ir vaizduoti ją atitinkančią moduliarinę formą. Deja, Tanijama, vienas labiausiai talentingiausių ir novatoriškiausių savo laikmečio protų, pasitraukė iš gyvenimo savo noru.
Atsitiko taip, jog 1984 m. vokiečių matematikui Gerhardui Frejui pavyko sukonstruoti eliptinės kreivės lygtį, į kurią būtų galima įtraukti Ferma lygties sprendinį, jei šis sprendinys egzistuotų (būtent, jei atsirastų tokie sveikieji skaičiai $$a>0, b>0, c>0, n>2$$, tenkinantys lygtį $$a^n + b^n = c^n$$, tai Frejaus eliptinė kreivė bus aprašoma lygtimi $$y^2=x \cdot (x-a^n) \cdot (x+b^n)$$ ). O po poros metų Berklio universiteto profesorius Kenas Ribetas įrodė, jei tokia eliptinė kreivė egzistuotų, ji neturėtų ją atitinkančios moduliarinės formos! Tad nuo šios akimirkos Didžioji Ferma teorema tapo neatsiejamai susieta su Tanijamos-Šimuros hipoteze. Įrodžius, jog bet kuri eliptinė kreivė būtinai yra moduliarinė, bus galima daryti išvadą, jog Ferma lygtis neturi sprendinių, ir tuo Didžiuoji Ferma teorema taptų įrodyta! Tačiau kol kas K.Ribeto pasiekimas leido tik suvesti vieną neišspręstą problemą į kitą, ne mažiau sunkų uždavinį. Praėjo beveik trisdešimt metų, įrodinėjant Tanijamos-Šimuros hipotezę, tačiau į priekį pasistūmėti nepavyko, o vilčių ją įrodyti likdavo vis mažiau.
Atsiskyrėlio žygdarbis
Kai žinia apie K. Ribeto teorem1 pasiekė Endriu, jis suprato, kad jo gyvenimo kelias turės pasikeisti, nes Didžiajai Ferma problemai išspręsti jam pakaks įrodyti Tanijamos-Šimuros hipotezę apie elpitinio ir moduliarinio pasaulių sutapimą. Daugiau nei dvidešimt metų praėjo nuo to laiko, kad Endriu Vailsas bibliotekoje atsivertė knygą, įkvėpusią jį priimti Ferma iššūkį, bet tik dabar jis pamatė kelią, vedantį į vaikystės svajonės išsipildymą. Studijuodamas doktorantūroje jis sužinojo apie eliptines kreives, turbūt, daugiau negu kas-nors kitas pasaulyje; tačiau jis taip pat puikiai suvokė, kad net su puikiu pasiruošimu ir neeiliniais matematiniais gabumais jo laukia milžiniškas darbas. Vailsas metė bet kokį užsiėmimą, tiesiogiai nesusijusį su Didžiosios Ferma teoremos įrodymu, ir atsidėjo tik šios problemos sprendimui. Kiek įmanoma, jis vengė visko, susijusio su darbu universiteto katedroje, kas atitrauktų jį nuo jo problemos, ir dirbo pasitraukęs į kabinetą savo namo pastogėje. Vailsas nusprendė dirbti visiškai vienas ir visiškai slaptai. Jo slaptumo priežastimi buvo ir garbės troškimas. Jis bijojo, kad kai jo įrodymas bus beveik baigtas, ir trūktų tik paskutinės dalies, o žinios apie jo proveržį nutekėtų, niekas nesustabdytų konkurento užbaigti darbą, remiantis jo sukurtu pagrindu, ir nugvelbti prizą iš panosės! Vienintelis žmogus, žinojęs apie Vailso paslaptį, buvo jo žmona, Nada. Jie susituokė netrukus po to, kai Vailsas pasišventė savo problemai, ir pažangą skaičiavimuose jis patikėdavo jai ir tik jai. Kai tik įtampa perdaug pakildavo, jis atsigręždavo į šeimą. Nuo darbo su Didžiąja Ferma teorema pradžios jis du kartus tapo tėvu. „Atsipalaiduoti galėjau tik su savo vaikais. Vaikai visiškai nesidomi Ferma teorema, jie nori išklausyti pasaką, ir daugiau nieko neleis tau daryti“.
Po septynerių metų atkaklių pastangų, neįprastų įrodinėjimo vingių, įžvalgų ir įkvėpimo prošvaisčių Endriu užbaigė Tanijamos-Šimuros hipotezės įrodymą. Kartu, kaip išvadą, po trisdešimties svajojimo apie tai metų, jis įrodė Didžiąją Ferma teoremą. Dabar buvo pats laikas pranešti apie tai pasauliui. Jo darbo pristatymas vyko 1993 m. per konferenciją Izaoko Niutono institute, gimtajame Kembridže. Per pranešimą, kuriame jis pristatė savo įrodinėjimo rezultatus, buvo nepaprasta tyla, virtusi audringais plojimais, kai Vailsas pranešė, kad jis įrodymą jau baigė.
Tačiau džiūgaujantis Vailsas kartu su susirinkusiais dar nenumanė apie tą nusivylimą, kuris jo laukė. Kol tęsėsi prasidėjęs triukšmas žiniasklaidoje, vyko svarbus darbas – įrodymo tikrinimas. Pagal akademinėje bendruomenėje nusistovėjusią tvarką pilnas įrodymo rankraštis buvo pateiktas į pripažintą matematikos žurnalą, kurio redaktorius persiuntė jį recenzentams kruopščiai patikrinti. Darbas buvo padalintas į šešias dalis, kurias tikrino atskiri recenzentai. Vienas po kito jie siuntė patvirtinimus, jog įrodyme klaidų nėra. Tačiau vienam recenzentui kilo neaiškumas, į kurį Vailsas sudelsė atsakyti. Po kurio laiko jis atsiuntė paaiškinimus, bet jų nepakako. Besigilinant į iškylusį klausimą, vis labiau ryškėjo, kad pateiktame Vailso įrodyme yra spraga. Tačiau matematikos tikslas yra logiškai nepriekaištingas, nekeliantis abejonių įrodymas, kuris įrodomas amžiams, nepaliekant vietos jokiems papildymams. Galutiniai loginio įrodymo teiginiai privalo būti logiškai nepriekaištingi, nors įrodymui surasti gali prireikti, ir intuicijos, ir įkvėpimo. Jei įrodyme pasitaikys spraga, jis visiškai subyrės, kaip grandinė su viena nutrukusia grandimi, ir kuo labiau bus stengiamasi įrodymą klijuoti, tuo labiau jis byrės. Nelemta spraga Vailsui reiškė, kad jo darbas buvo veltui, neskaitant kai kurių pasiektų įžvalgų, kurias, gal būt, būtų galima pritaikyti kitose srityse. Tačiau po septynerių metų nenuilstamų pastangų Vailsas nesiruošė lengvai pasiduoti ir stebėti, kaip kažkas kitas užbaigia įrodymą ir pasiglemžia jo šlovę. Mat, įrodžiusiu Ferma Didžiąją teoremą laikomas ne tas asmuo, kuris daugiausia dirbo ir padarė didžiausią indėlį, o tas, kuris pateikė galutinį įrodymą. Desperatiškai ieškodamas išeities Vailsas pakeitė savo stilių. Dabar jis nebedirbo vienas, nes vienatvėje protas daro klaidas, ir pasikvietė į pagalbą savo buvusį studentą Ričardą Teilorą. Dirbant kartu, per truputį daugiau nei metus jam pavyko surasti ir ištaisyti lemtingąją klaidą. Ištaisytas 109 puslapių sodraus matematinio teksto straipsnis su Didžiosios Ferma teoremos įrodymu buvo atspausdintas 1995 m prestižiniame žurnale „Annals of Mathematics“. Akademinė bendruomenė skrupulingai peržiūrėjo įrodymą ir sveikino autorių, išsprendusį uždavinį, kurio sprendimo per tris su puse šimtmečio ieškojo didžiausi žmonijos protai.
Ar matematikos trileris pasibaigė?
Nors Vailsas turėjo panaudoti XX amžiaus metodus, įrodydamas XVII amžiaus galvosūkį, jis susidorojo su Ferma iššūkiu pagal Volfskelio komiteto taisykles, ir 1997 m. birželio 27 d. jam buvo įteikta Volsfskelio premija. Dar kartą antraštės apie Ferma ir Vailsą pasklido po visą pasaulį. Oficialiai buvo pripažinta, jog Ferma paskutinioji teorema pagaliau įrodyta. Be Volfskelio prizo E.Vailsas gavo daugybę kitų apdovanojimų, jis buvo išrinktas daugelio prestižinių akademijų nariu, jo vardu netgi buvo pavadintas asteroidas. BBC laida “Horizontas” sukūrė dokumentinį filmą apie jo fenomenalų rezultatą, o visa paskutiniosios Ferma teoremos įrodinėjimo istorija yra aprašyta Simono Singho knygoje “Pakutinioji Ferma teorema”, kuri netrukus pasirodys lietuvių kalba.
Tai, kad Ferma teorema nebuvo įrodyta tiek ilgai, pabrėžia jos svarbą. Didžioji Ferma teorema suvaidino labai svarbų vaidmenį matematikos istorijoje, ir netgi galima teigti, jog ji vystėsi lygiagrečiai su matematikos plėtote. Ferma teoremos įrodymas yra didžiausia proto pergalė, Per aštuonerių metų išbandymą Vailsas, iš esmės, apjungė daugelį matematikos sričių ir integravo jas į vientisą, nekeliantį jokių abejonių, įrodymą. Tai yra proveržis, leidžiantis pereiti į kitą amžiaus problemų sprendimo etapą. Viena svarbiausių įžvalgų, sekančių iš jo darbo, yra tai, jog šiame darbe pradėjo ryškėti vieningo mokslo pasaulio vaizdas, kurio atradimas ir tyrimas gali leisti pasiekti esminį proveržį įvairiose mokslo srityse.
Nors oficialiai laikoma, kad didžioji Ferma problema yra išspręsta, tačiau dar galima sutikti mėgėjų, manančių, kad šiai problemai išspręsti nereikia prirašyti daugiau kaip šimtą puslapių sudėtingų įrodinėjimų, ir todėl tebeieškančių paprasto bei lakoniško įrodymo, kurį būtų galima, – na, kad ir „sutalpinti knygos paraštėse“. O Ferma teorema yra pateikusi tiek netikėtumų, kad nereikėtų per daug nustebti, jei šis matematinis trileris vėl atgytų!