Astronaujiena. Fundamentaliai neišsprendžiamos chaotiškos sistemos

Du kūnai, veikiami tarpusavio gravitacijos, juda kosmose. Kokios yra jų trajektorijos? Šį uždavinį išspręsti palyginus nesunku: priklausomai nuo bendros sistemos energijos, abu kūnai aplink bendrą masės centrą juda apskritimu, elipse, parabole arba hiperbole. Nesunku apskaičiuoti ir tų trajektorijų parametrus. Bet jei prie poros pridedame trečią objektą, uždavinys pasidaro daugybę kartų sudėtingesnis. Šio „trijų kūnų uždavinio“ sprendinių mokslininkai ieško nuo Niutono laikų. Tokie garsūs mokslininkai, kaip Euleris ir Lagrange`as, rado keletą idealizuotų sprendinių; bendro pobūdžio sprendinys atrastas tik XX a. pradžioje, bet jis nėra praktiškas, nes apskaičiavimas trunka labai ilgai. Efektyviau šį uždavinį spręsti skaitmeniniais metodais – sekti dalelių judėjimą, sudalintą į daugybę trumpų intervalų. Ir trijų, ir daugiau kūnų judėjimui skaičiuoti sukurta daugybė specializuotų metodų, tam pritaikyti netgi neuroniniai tinklai. Bet ir jie turi ribas: kuo tiksliau norime sekti sistemos evoliuciją, tuo trumpesnius intervalus reikia naudoti. O naujame tyrime įrodyta, kad kai kurioms sistemoms šie intervalai turi būti trumpesni už fundamentalią ribą, vadinamą Planko ilgiu.

Dažniausia trijų kūnų sistemos evoliucijos baigtis yra tokia: du kūnai suformuoja dvinarę sistemą, o trečiasis tampa nuo jos nepriklausomas ir nulekia sau (šioje vietoje galima būtų parašyti daug paralelių su žmonių santykiais, bet paliksiu tai poetiškesnės sielos asmenims). Egzistuoja ir kitokių baigčių – stabilios konfigūracijos, kurios gali sukti nekintančias orbitas neribotą laiko tarpą, dviejų kūnų susidūrimas ir panašios, – bet jos yra labai retos. Problema nagrinėjant tokias sistemas yra ta, kad žinant pradines sąlygas dažnai praktiškai neįmanoma pasakyti, kaip sistema elgsis toliau, kiek laiko užtruks jai pasidalinti į dvi ir vieną, kurie kūnai liks poroje, kokiomis kryptimis nulėks objektai į šalis… Dar blogiau yra tai, kad net ir mažytis pradinių sąlygų skirtumas gali visiškai pakeisti evoliucijos baigtį – tokia savybe pasižyminčias sistemas vadiname chaotiškomis.

Trijų kūnų uždavinio skaitmeninis sprendinys. Šaltinis: u/emelypence reddit’e

Praktikoje retai kyla poreikis skaičiuoti konkrečios sistemos evoliuciją; įprastai norima išnagrinėti, kaip vystosi įvairios, bet panašias savybes turinčios, sistemos. Tokiu atveju galima remtis statistiniu metodu: skaitmeniškai modeliuoti daugybės panašių sistemų vystymąsi ir tikėtis, kad gaunamos baigtys gerai atspindi realių sistemų baigčių aibę. 2015 metais atlikta tokių modelių analizė leidžia spręsti, kad taip ir yra: nors konkretūs skaitmeniniai sprendiniai skiriasi nuo realių, paėmus daug sprendinių, jų nuokrypiai pasinaikina.

Visgi kartais svarbi ir konkreti sistema. Pavyzdžiui, jei randame galaktiką, kuri prieš kelis šimtus milijonų metų susiliejo su dviem kitomis, jos centre gali egzistuoti trys supermasyvios juodosios skylės. Būdamos daug masyvesnės už aplinkinius objektus, jos juda praktiškai veikiamos vien savo gravitacijos. Būtų įdomu sužinoti, koks likimas laukia būtent tokios trijulės. Kitas pavyzdys – trinarė žvaigždė. Dažniausiai jos būna hierarchiškos – dvi žvaigždės sukasi viena aplink kitą, o trečioji nuo jų nutolusi pagarbiu atstumu; pavyzdžiui, taip yra Kentauro Alfos-Proksimos sistemoje. Bet gali egzistuoti ir nehierarchiška sistemą: tokią aptikę, taip pat norėtume suprasti, kiek laiko ji išliks tokioje konfigūracijoje. Dar įdomiau, jei tokioje sistemoje egzistuoja planetos – tokios sistemos evoliucija yra vienas iš svarbių gana garsaus kiniško fantastinio romano „Trijų kūnų problema“ siužeto elementų.

Trys besijungiančios galaktikos su centrinėmis juodosiomis skylėmis. Šaltinis: Rentgeno vaizdas: NASA/CXC/George Mason Univ./R. Pfeifle et al.; Regimųjų spindulių vaizdas: SDSS & NASA/STScI

Taigi, jei sprendžiame trijų kūnų sistemos evoliuciją skaitmeniškai, kaip nustatyti, ar gautas sprendinys yra patikimas? Vienas būdas yra patikrinti jo grįžtamumą. Gravitacinė sąveika yra simetriška laike: kitaip tariant, jei kuriuo nors laiko momentu apsuktume visų kūnų greičius į priešingą pusę, sistema turėtų vystytis atgal, atkartoti trajektoriją ir grįžti į pradinę padėtį. Jei skaitmeninis modelis seka sistemos evoliuciją pakankamai tiksliai, jame galėtume tikėtis tokio paties efekto.

Šis tyrimas – toli gražu ne pirmas panašus bandymas. Štai prieš porą metų atlikta vadinamosios „Pitagorinės problemos“ analizė: trijų kūnų, kurių masės yra 3, 4 ir 5, esančių stačiojo trikampio, kurio kraštinių ilgiai taip pat 3, 4 ir 5, viršūnėse, judėjimas. Padarius mažytę perturbaciją – pakeitus vieno objekto pradinę padėtį viena dešimtmilijardąja dalimi – sistema ėmė evoliucionuoti gerokai kitaip, o grįžti į pradinę padėtį pavyko tik tada, kai skaičiavimui naudotas atstumo intervalas buvo 10^{-24}, arba šimtą trilijonų kartų mažesnis, nei pradinis skirtumas tarp dviejų sistemų.

Naujajame tyrime panaši analizė atlikta su daugybe sistemų, kuriose visi trys kūnai turi vienodą masę ir modelio pradžioje nejuda. Priklausomai nuo konkrečių kūnų padėčių sistemos vystosi labai nevienodai. Vienos – palengva, ir jas skaitmeniškai sekti nesunku; kitose, priešingai, įvyksta daug artimų dviejų kūnų praskridimų, kuriuos skaičiuoti darosi problematiška. Kiekvienai sistemai tyrėjai nustatė, ar jos skaičiavimai yra grįžtami – t. y. ar bet kuriuo momentu apsukus visų trijų kūnų greičius, sistema grįžtų į pradinę padėtį. Šią analizę pakartojo naudodami įvairius skaičiavimo intervalų dydžius \epsilon ir įvertino, kokia dalis visų sistemų yra negrįžtamos. Šią priklausomybę matote grafike.

Negrįžtamų sistemų dalies priklausomybė nuo pasirinkto skaičiavimų intervalo dydžio. Abi vertės atidėtos logaritminėje ašyje, taigi -1 reiškia dešimtadalį, -2 – vieną šimtąją ir taip toliau. Šaltinis: Boekholt et al. (2020)

Priklausomybė rodo keletą įdomių dalykų. Pirmasis – net ir turėdami labai tikslų skaitmeninį integratorių, tiksliai sekti galėsime toli gražu ne visas trijų kūnų sistemas. Pavyzdžiui, įprastai skaitmeniniuose modeliuose naudojamas vadinamas dvigubas tikslumas, kuris leidžia užrašyti skaičius 15-17 reikšminių ženklų tikslumu. Kitaip tariant, minimalus intervalo ilgis, pasiekiamas standartiniuose skaitmeniniuose modeliuose, yra \epsilon \simeq 10^{-15}. Iš grafiko matyti, kad skaičiuojant tokiu tikslumu, negrįžtamos yra \sim 10^{-0.4} \simeq 40\% sistemų. Norėdami tiksliai apskaičiuoti 90% sistemų, turėtume naudoti 10^{-37} intervalo dydį.

Kas gi yra intervalo dydis? Tai yra mažiausio skaičiavimuose išskiriamo atstumo ir sistemos dydžio santykis. Taigi jei kalbame apie trijų juodųjų skylių sistemą, o atstumus tarp jų matuojame šimtosiomis parseko dalimis, mūsų sistemos dydis yra maždaug 0.1 {\rm pc} \simeq 3\times10^{15} {\rm m}. Vadinasi, net jeigu galėtume modelyje sekti jų judėjimą keleto metrų tikslumu, tiksliai išspręstume tik kiek daugiau nei pusės sistemų evoliuciją. Intervalo dydis 10^{-37} tokiai sistemai atitinka 3\times10^{-18} {\rm m} – kelis šimtus kartų mažiau, nei protono spindulys. Taip pat toks atstumas yra panašus į LIGO ir Virgo detektoriuose pasiekiamą tikslumą, kuriuo matuojamas tunelio ilgio pasikeitimas, žymintis gravitacinės bangos praėjimą.

Nors praktiškai tai toli gražu nepasiekiama, iš principo būtų galima išmatuoti ir gerokai trumpesnius nuotolius. Visgi egzistuoja ir fundamentali riba, vadinama Planko ilgiu: tai turėtų būti minimalus prasmingas atstumas. Manoma, kad mažesniu masteliu erdvė tiesiog neegzistuoja ar bent jau jos negalima laikyti tolygia. Mums suprantami fizikos dėsniai tokiais mažais masteliais greičiausiai nebeveikia. Planko ilgis yra maždaug 10^{-35} metro – trijų juodųjų skylių sistemai tai atitinka intervalo ilgį \epsilon \sim 3\times10^{-51}. Matome, kad ir tokiu tikslumu skaičiuojant, maždaug 10^{-1.4} \simeq 4\% sistemų yra negrįžtamos. Beje, tai toli gražu nereiškia, kad tose sistemose juodosios skylės viena prie kitos priartėtų mikroskopiniais atstumais – nagrinėtuose modeliuose kūnai nepriartėjo vienas prie kito arčiau nei viena tūkstantąja pradinio sistemos dydžio. 10^{-4} parseko yra gerokai didesnis atstumas, nei tipinių supermasyvių juodųjų skylių įvykių horizontų spinduliai.

Jei vietoje juodųjų skylių paimtume tris žvaigždes, situacija gerokai nepakistų: nors tipiniai atstumai būtų tūkstančius kartų mažesni, toks santykis yra labai nedidelis, palyginus su tiksliems skaičiavimams reikalingu intervalo ilgiu. Negrįžtamų sistemų dalis, skaičiuojant Planko ilgio tikslumu, išliktų beveik tokia pati.

Taigi gamtoje gali būti sistemų, kurių evoliucija yra fundamentaliai negrįžtama, net vertinant vien klasikinę gravitacinę sąveika, kuri nepriklauso nuo laiko krypties. Galbūt tai yra viena iš priežasčių, kodėl Visatoje egzistuoja laiko kryptis – priežastys visada įvyksta anksčiau, nei pasekmės? Nežinia, bet tai gali būti įdomi nagrinėjimų kryptis.

Tyrimo rezultatai aprašomi straipsnyje, kurio laisvai prieinamą versiją rasite arXiv.

Laiqualasse

5 komentarai

  1. Ačiū už straipsnį!

    „Taigi gamtoje gali būti sistemų, kurių evoliucija yra fundamentaliai negrįžtama, net vertinant vien klasikinę gravitacinę sąveika, kuri nepriklauso nuo laiko krypties.“ – esu linkęs nesutikti su šiuo teiginiu. Jeigu teisingai suprantu, dėl modelių „negalėjimo grįžti atgal į praeitį“ teigi, kad tai galėtų būti vienas iš laiko tekmės įrodymų. Man tai atrodo per didelis supaprastinimas. Dar daug ko nežinom apie gravitaciją, ypač mikroskopiniam lygmeny, tad tų 4% sistemų negrįžtamumą naudojant *klasikinę gravitaciją su $$\epsilon \approx 10^{-51}$$ * laikyčiau labiau kaip modelio trūkumą, o ne fizikinį teiginį.

    1. Gali būti ir taip :) Bet panašiai teigia ir tyrimo autoriai – parašęs astronaujieną radau populiarių pristatymų, kur jie cituojami teigiantys, kad čia yra vienas iš arrow of time pavyzdžių, kuriam net nereikia sudėtingos tik statistiškai aprašomos sistemos.

  2. Akivaizdu: „Bet jei prie poros pridedame trečią objektą, uždavinys pasidaro daugybę kartų sudėtingesnis“ – kai kalbam apie 2 kūnus, preziumuojama kad jie abu yra stipriame tarpusavo ryįyje (t.y., ignoruojama aplinka), kai pridedam trečią kūną, ta aplinka plečias, negano to, būtina įvertint ir ketvirtą, n-tąjį kūnus… o kur dar juodoji (kaip kad ‘žirafos’ sako) materija su savo nematoma jėga. Taip kad – viskas čia logiška; o kaip su laiko dedamąja?

    1. Tikrai akivaizdu, kad sistema iš trijų sąveikaujančių dalių yra sudėtingesnė, nei analogiška sistema iš dviejų dalių. Įdomumas čia tame, kiek labai sudėtingesnė pasidaro gravitacinė sistema, pereinant nuo dviejų kūnų iki trijų. Ir nereikia jokių papildomų komplikacijų, kurias minite – ketvirto ar tolesnių kūnų, išorinio potencialo ir t.t.

Leave a Reply

El. pašto adresas nebus skelbiamas. Būtini laukeliai pažymėti *