Ne visai fizikos įdomybė. Gimtadieniai

Šiandien papasakosiu vieną dalykėlį ne apie fiziką, bet apie matematiką. Įsivaizduokite, kad jūs esate vakarėlyje/susitikime/troleibuse kartu su keliomis dešimtimis kitų žmonių. Kokia tikimybė, kad kurio nors iš tų žmonių gimtadienis yra tą pačią dieną (metai nesvarbu), kaip ir jūsų? O kokia tikimybė, kad šiame vakarėlyje/susitikime/troleibuse yra bent du žmonės, kurių gimtadienių dienos sutampa (vėlgi, metai nesvarbu)? Prieš skaitydami toliau, pabandykite truputį pagalvoti ir susidaryti kokią nors nuomonę šitais klausimais.

Atsakymas į pirmąjį klausimą nieko nustebinti neturėtų. Jei patalpoje yra dar vienas žmogus, tikimybė, kad jis gimęs tą pačią dieną, kaip ir jūs, lygi 1/365 (apytikriai, padarius nebūtinai teisingą prielaidą, kad kiekvieną dieną tikimybė gimti vienoda, ir atmetus vasario 29-ą dieną). Jei žmonių yra du, tikimybė, kad kuris nors vienas iš jų gimęs tą pačią dieną, kaip ir jūs, yra 1 – (364/365)^2; tai yra beveik lygu 2/365. 364/365 yra tikimybė, kad žmogus gimęs ne tą pačią dieną, kaip ir jūs, ir šią tikimybę reikia padauginti iš savęs tiek kartų, kiek yra žmonių. Jei žmonių nedaug, tai yra beveik tas pat, kas sudėti tikimybes 1/365, bet didėjant žmonių skaičiui, tikimybės išsiskiria. Paimkime gana ekstremalų variantą – jei žmonių yra 365, tai juk dar negarantuoja, kad bent vienas bus gimęs tą pačią dieną, kaip ir jūs, nors tikimybė gana didelė. Tiksliau sakant, ji yra 1 – (364/365)^365, o tai apytiksliai lygu 63%. Gal atrodo mažoka, bet patikėti įmanoma, ar ne?

Dabar panagrinėkime antrą klausimą. Jei yra trijų žmonių grupė, kokia tikimybė, kad du žmonės joje gimę tą pačią dieną? Tikimybė lygi vienetui minus tikimybei, kad jie visi gimę skirtingomis dienomis, arba 1 – (365/365)*(364/365)*(363/365). Pirmasis dauginamasis yra „tikimybė“, kad vienas žmogus grupėje yra gimęs (lygi vienetui), antrasis – tikimybė, kad kitas grupės narys gimęs kažkurią kitą dieną, nei pirmasis (tokių dienų yra 364), trečiasis – tikimybė, kad trečias grupės narys gimęs kitą dieną, nei bet kuris iš pirmų dviejų (tokių dienų yra 363). Jei grupėje žmonių daugiau, dauginamųjų taip pat padaugėja, ir kiekvienas jų yra 1/365-ąja mažesnis.

O kiek žmonių turi būti grupėje, kad tikimybė, jog du nariai gimtadienį švęs tą pačią dieną, būtų didesnė, nei 50 procentų? Savaime suprantama, ji bus mažesnė nei 365 (jei žmonių daugiau, kurie nors du tikrai bus gimę tą pačią dieną), bet kiek mažesnė? Ar reikės 200 žmonių? O gal užteks 100? Gal net penkiasdešimties?! Iš tiesų atsakymas yra… 23 žmonės! Tai gali atrodyti labai keista, bet matematika nemeluoja – 23-jų atsitiktinai surinktų žmonių grupėje yra didesnė tikimybė rasti du žmones, švenčiančius gimtadienį tą pačią dieną, nei tikimybė tokios poros nerasti. Jei grupė padidėja iki 57 žmonių, tikimybė rasti porą išauga iki 99 procentų.

Šis iš pažiūros neįtikimas faktas kartais vadinamas „gimtadienių paradoksu“. Nors jokio paradokso (t.y. loginio prieštaravimo) čia iš tiesų nėra, tiesiog mus paveda intuityvus mąstymas. Suvokti reiškinį galbūt padėtų toks paaiškinimas. Nagrinėkime ne žmones, bet žmonių poras. 23 žmonių grupėje skirtingų porų yra 253; 57 žmonių grupėje – 1596. Kiekvienai grupei priskirkime skaičių, nurodantį, kelių dienų tarpas yra tarp jos narių gimtadienių. Tarpas gali būti tarp 0 dienų (gimtadienis tą pačią dieną) iki 365 dienų (visi metai). Dabar problema tampa identiška pirmajai: kokia tikimybė, kad tarp grupės porų pasitaikys bent viena su nuliniu tarpu tarp gimtadienių? Ta tikimybė yra lygi 1 – (364/365)^n, kur n yra grupių skaičius. Kai n = 253, tikimybė yra vos didesnė už 50 procentų, o kai n = 1596, tikimybė viršija 99 procentus.

Va toks trumpas pasakojimas šiam kartui. Beje, šias žinias galima labai smagiai panaudoti dideliuose vakarėliuose/pobūviuose. Pasitarimuose ir troleibusuose gal sunkiau, bet turbūt irgi įmanoma :)

Laiqualasse

6 comments

  1. Kiek girdėjau, kad šiai teorijai patvirtinti buvo atliktas tyrimas su futbolininkais imant futbolininkų istorinius duomenis. Kaip žinia vienoje futbolo komandoje aikštėje žaidžia po 11 žaidėjų. Sudėjus abi komandas gaunasi 22, pridėjus aikštės teisėją – jau 23. Ir pasirodo, kad gyvenime ši teorija iš tiesų pasitvirtina praktiškai: kai imami tik žaidėjų gimtadieniai, tai tokių atvejų kai aikštelėje bėgioja 2 žmonės gimtadienį švenčiantys tą pačią dieną yra šiek tiek mažiau nei 50%, jei imami ir teisėjų gimtadieniai, tokių varžybų procentas pasidaro didesnis nei 50.

    1. Taip, yra tekę girdėti kažką panašaus. Atrodo, paėmus pastarųjų dešimties pasaulio futbolo čempionatų finalinių rungtynių žaidėjų (ir teisėjo) gimtadienius randame, kad maždaug pusėje rungtynių buvo tokių porų; čia jau atmetus dvynius, kurių irgi yra buvę.

    1. O taip, Monty Hall yra jėga. Atsimenu, univere per statistikos paskaitą vieną sykį nagrinėjom šitą reikalą. Kelių kursiokų taip ir nepavyko įtikinti, kad pakeisti pasirinkimą yra teisingas sprendimas.

        1. Taip, būtent, intuicija apgauna. Aiškiau tai matyti, tris duris pakeitus į daug daugiau, pvz. šimtą, ir žaidimo vadovui atidarant 98 iš šimto.

Leave a Reply

El. pašto adresas nebus skelbiamas. Būtini laukeliai pažymėti *