(Ne visai) fizikos pradžiamokslis. Kas yra sigmos ir su kuo jos valgomos

Vakar didžioji dalis mokslo pasaulio ir nemažai „paprastų mirtingųjų“ atidžiai sekė spaudos konferenciją CERN‘e ir pranešimus iš jos. Ten dviejų eksperimentų – CMS ir ATLAS – atstovai pranešė apie pastebėtus galimus Higso bozono (kartais skambiai pavadinamo „dieviškąja dalele“) pėdsakus. Apie tuos pėdsakus galbūt parašysiu kada nors vėliau (nors nepasakysiu daug daugiau, nei rasite, pavyzdžiui, čia), o šįkart pristatysiu vieną dažnai tokiuose ir panašiuose pranešimuose sutinkamą terminą ir jo svarbą. Tas terminas – „kiek nors sigmų“. Pavyzdžiui, paskutiniai Higso pėdsakai yra 3 su trupučiu sigmų stiprumo rezultatas (nors New Scientist praneša apie 2,3 ir 1,9 sigmas). Ką tai reiškia? Kas per baubas yra ta sigma ir kodėl visi jomis rūpinasi bene labiau, nei pačiu Higso bozonu?

Pradėkime nuo paprasto mintinio (nors galite ir realiai pasidaryti, jei norite) eksperimento. Meskite monetą ir pažiūrėkite, kuria puse nukris. Dabar meskite dar kartą. Ir dar. Ir taip kokius 10 ar 20 kartų. Greičiausiai po 20 metimų maždaug 10 kartų ji bus atsivertusi skaičiumi ir 10 – herbu. Aišku, niekas labai nenustebs, jei vietoje 10 ir 10 bus 9 ir 11 arba 12 ir 8. Tačiau jei iš 20 kartų visus 20 nukris herbu į viršu, jau bus kažkas įtartino. Tačiau kyla klausimas, kiek įtartinas yra toks rezultatas. Kitaip tariant, kiek mažai tikėtina yra bandymo baigtis, jog iš 20 metimų visus 20 kartų moneta nukrenta herbu į viršų.

Kad tą išsiaiškintume, galime pasitelkti matematines formules, arba pakartoti eksperimentą daug kartų (galbūt ir su įvairiomis monetomis, kad sumažintume konkrečios monetos netolygumų poveikį). Taigi, metame monetą 20 kartų ir užsirašome, kiek kartų atsivertė herbas. Pakartojame tą vėl. Ir vėl. Ir taip toliau, kokius šimtą ar keletą šimtų kartų. Jei monetos yra idealios, t.y. jei kiekvienu metimu tikimybė atsiversti kuria nors puse yra lygiai 50 procentų, tai po daugelio bandymų pamatysime, jog dažniausiai gauname po 10 herbų, kiek rečiau – po 9 arba 11, ir taip toliau, o 0 arba 20 herbų iš eilės pasitaiko tik maždaug vieną kartą iš milijono. Jei nubrėžtume grafiką, kurio horizontalioje ašyje atidėtume herbų kiekį, o vertikalioje – kiek kartų toks herbų kiekis buvo gautas (toks grafikas vadinamas histograma) – pamatytume, jog jis panašus į kreivę, vadinama varpo kreive arba standartiniu skirstiniu (dar naudojamas ir kitas pavadinimas – Gauso skirstinys, vokiečio matematiko Karlo Frydricho Gauso garbei).

Monetų mėtymo histograma, horizontali ašis suspausta tarp nulio ir vieneto. Kairėje – 10 tūkstančių kartų pakartotas monetos metimas 10 kartų iš eilės. Didžiausia tikimybė yra išmesti 5 herbus (0.5 horizontalioje ašyje), 4 ir 6 – truputį mažiau, ir taip toliau. Dešinėje – moneta mėtyta po 100 kartų iš eilės. Atkreipkite dėmesį, jog pasiskirstymas yra gerokai labiau suspaustas – visiškai nėra bandymų, kuriuose būtų gauta mažiau nei 30 ar daugiau nei 70 herbų.

 

Priklausomai nuo to, kiek kartų metama moneta kiekvieno bandymo metu, gautas grafikas yra siauresnis arba platesnis. Jo „plotį“ galima aprašyti dydžiu, vadinamu standartiniu nuokrypiu. Standartinis nuokrypis randamas paimant kiekvieno duomens skirtumą nuo vidurkio, pakeliant tą skirtumą kvadratu (kad pranyktų neigiamos vertės), tada randant visų šitų kvadratų vidurkį ir ištraukiant iš jo kvadratinę šaknį. Galbūt atrodo painu, bet iš tikro nieko čia painaus. Ir tokiu būdu galima aprašyti ne tik varpo kreivės, bet ir bet kokio kito skirstinio plotį. Tiesa, praktikoje varpo kreivės sutinkamos turbūt dažniausiai iš visų skirstinių, taigi toliau kalbėsiu vis dar apie jas.

Kas gero iš to standartinio nuokrypio? Varpo kreivė yra lengvai aprašoma matematiškai. Kiekvienai bandymo baigčiai X galima priskirti tikimybę P(X), kuri, jei skirstinys normalus, yra lygi

P(X) = .

Šioje lygtyje μ yra skirstinio vidurkis (monetos mėtymo atveju lygus pusei metimų viename bandyme), o σ – standartinis nuokrypis. Štai ir priėjome prie rašinio temos: paslaptingoji sigma yra standartinis nuokrypis. Dar reikia išsiaiškinti, kas nuo ko ir į kur nukrypę, bet apie tai – vėliau.

Akivaizdu, jog kuo toliau nuo vidurkio esi normaliame skirstinyje, tuo mažesnė tikimybė ten rasti bandymo rezultatą. Tai lengva pamatyti iš monetų mėtymo rezultatų, taip pat tą galima pamatyti ir iš lygties, bet nebūtina. Tačiau į lygtį galime įstatyti įvairias X vertes ir pažiūrėti, kas gaunasi. Pavyzdžiui, jei nuo vidurkio nutolstame per 1 sigmą, tikimybė susitraukia iki ~60% nuo tos, kuri buvo ties vidurkiu. Už dviejų sigmų ji sieka vos 13% tos, kur viduryje. O už trijų sigmų išvis belieka tik ~1%. Dar didesni skirtumai atsiskleidžia, kai suskaičiuojame, kokia tikimybė, kad rezultatas bus arčiau vidurkio už tam tikrą vertę. Štai tarp plius ir minus vienos sigmos nuo vidurkio telpa maždaug 68% rezultatų; tarp plius ir minus dviejų – jau 87,5%; o tarp plius ir minus trijų sigmų sutelpa išvis 99,7%. Taigi praktiškai visi rezultatai bandymų, kuriems galioja normalus skirstinys, telpa tarp plius ir minus trijų standartinių nuokrypių nuo vidurkio. Žemiau esančiame paveiksliuke varpo kreivė suskirstyta sigmomis ir pažymėti visų dalių „plotai“.

Kiekvienas skaičius rodo, kokia rezultatų dalis patenka į tą tarpą.

Taigi, dabar galime atsakyti į klausimą, kuo visa tai susiję su Higso bozono paieškomis ir kitokiais eksperimentais. Tarkime, kad turime kažkokį stebėjimų intervalą; Higso atveju tai yra energija (arba, analogiškai, dalelės masė). Jei tas intervalas neapima jokių realių įvykių/objektų (Higso bozono masė nepatenka į tą intervalą), galime apskaičiuoti, kokį signalą iš jo turėtume gauti. Toks signalas vadinamas nuline hipoteze. Atlikę daug matavimų, galime jų duomenis atidėti tame pačiame intervale ir palyginti su nuline hipoteze. Rezultatai beveik neabejotinai kažkiek skirsis nuo hipotezės, tačiau svarbu, kiek didelis ir reikšmingas tas skirtumas. Iš to paties modelio, kurį naudojome nulinei hipotezei nustatyti, taip pat randame ir standartinį nuokrypį nuo jos. Ir tada galime palyginti rezultatų skirtumą nuo nulinės hipotezės su standartiniu nuokrypiu. Jei kažkuris rezultatai yra gerokai didesnis už nulinės hipotezės spėjimą, tai gali reikšti, kad „čia kažkas yra“. Paprastai, jei rezultatas nuo nulinės hipotezės skiriasi daugiau nei trimis sigmomis, jau imama šnekėti, kad tai yra realus efektas. Tačiau dalelių fizikai kažkada nusprendė, jog rezultatas pripažįstamas atradimu tik tada, kai skirtumas nuo nulinės hipotezės viršija penkias sigmas.

Tad kol kas CMS ir ATLAS rezultatai yra labai netoli tos ribos, kai jau bus galima gana tvirtai sakyti, kad kažkas 124-126 GeV ruože yra. Bet iki ribos, kai tas „kažkas“ bus pripažinta atradimu, dar laukia nemažai darbo.

Laiqualasse

13 comments

  1. aš siūlyčiau tokią interpretaciją: „3-sigma“ rodo, kad 0-nė hipotezė neteisinga _ergo_ yra stebimas efektas, o „5-sigma“ kad tu net žinai koks tai yra efektas (šiuo atveju Higsas).

    1. Gal taip ir teisingiau, nors šiaip vien iš sigmų kiekio nepasakysi, ar tai tikrai Higsas, ar kas nors kitokio. Pasidomėsiu, kaip ten yra su tom penkiom sigmom.

  2. Idomu, ar Higso bozono susigmavimas tuo ir apsiribos, ar bus dar kazkaip galima tyrineti jo savybes, ar jos tiesiog jau zinomos is standartinio modelio?

    1. Teoriškai turėtų būti įmanoma ir savybes tyrinėti. Pvz. į kokias daleles su kokiomis tikimybėmis skyla, ir panašiai. Bet šiaip tai būtų tik standartinio (ar kokio kitokio) dalelių fizikos modelio spėjimų patikrinimas.

  3. Atgalinis pranešimas: Sumaištis dėl Hablo | Konstanta-42

Leave a Reply

El. pašto adresas nebus skelbiamas. Būtini laukeliai pažymėti *